Matematyka: odkrywana czy konstruowana?
: 22 cze 2014, 21:16
Pytanie w tytule wątku jest bardzo stare i dzieli filozofów matematyki na dwie zasadnicze grupy [1]: platoników i konstruktywistów.
Platonicy wierzą, że wszelkie abstrakcyjne twory matematyczne (nie tylko liczby) istnieją naprawdę - niezależnie od człowieka. Zadaniem ludzi jest ich odkrywanie i opisywanie, zgłębianie i odnajdywanie symetrii, wewnętrznego piękna. Owe piękno jest naturalnie wpisane w budowę wszechświata i (wybrani ) podziwiają je na tej samej zasadzie, jak podziwiamy zorze polarne.
Konstruktywiści wierzą, że matematyka nie istnieje poza człowiekiem i człowiek ją wymyślił na własne potrzeby - do modelowego opisu rzeczywistości. Piękno matematyki wynika, w ich mniemaniu, z kunsztu rzemieślnika matematyki i fakt, że jej duża większość jest dziś tak piękna (dla wybranych ) jest efektem zbiorowej pracy wielu umysłów na przestrzeni tysięcy lat (do dziś przetrwały jedynie te "piękne" teorie).
Podam przykładowe argumenty za i przeciw każdemu poglądowi:
* Konstruktywizm, ale nie platonizm:
Wszystko, co proponuje matematyka, nie istnieje w naturze - w rzeczywistości. Nie ma kwadratów, linii prostych czy w ogóle dwuwymiarowych figur. Nie ma idealnych kątów prostych czy dokładnych pomiarów wartości (takich jak np. długość), nie ma nieskończoności na tej planecie. Wreszcie - nie ma liczb! Owszem, istnieje pięć owiec czy dwa kamienie, ale nikt nigdy nigdzie nie wskazał czystego pięć czy dwa w oderwaniu od czegokolwiek innego! Wszystko na świecie jest niedoskonałe i matematyka jest tylko wyidealizowanym (a więc uproszczonym) modelem tego świata.
* Platonizm, ale nie konstruktywizm:
Argument będzie czysto teologiczny i w tym właśnie miejscu chciałbym zaznaczyć, że odpowiedzi oparte na wierze są jak najbardziej mile widziane - wszak to forum protestanckie . Jestem też ciekawy, czy podobnie widzicie inne dziedziny nauki - zwłaszcza te ścisłe i doświadczalne - fizykę, chemię i biologię.
Ale do rzeczy: w zasadzie wszystko pochodzi od Boga. Człowiek nie mógł wymyślić czegoś, na co Bóg by nie wpadł. W tym sensie i matematykę mamy od Boga i jesteśmy (tzn. niektórzy wybrani są ) na nią wrażliwi tak samo, jak wrażliwi bywamy na obrazy czy muzykę, co pokazuje nam "artystyczną" stronę Boga - Stwórcy. Myśleć, że człowiek jest taki mądry, że skonstruował tak użyteczne narzędzie, jakim jest matematyka, jest wysoce... pyszne . Poza tym, zgodność wyników matematyki z rzeczywistością nie może być przypadkiem.
Oczywiście argument "teologiczny" nie musi przekreślać całej dyskusji - ja sam od niedawna co raz bardziej lubię pogląd konstruktywistów. A może wszytko to da się jakoś połączyć...?
Zapraszam do dyskusji!
--------------------------------------------------------
[1]: W zasadzie wyróżnia się jeszcze formalistów - tych filozofów matematyki, którzy traktują ją jako zestaw symboli, alfabetów i zdań wraz z zestawem "dozwolonych" zasad posługiwania się nimi w celu takiego nimi operowania, żeby... otrzymać jeszcze więcej zdań. Takie zdania nazywa się prawdziwymi, ale nie wnika się w ich znaczenie - są one dla formalistów nieważne. Ważne, że można zapisać definicję ciągu zbieżnego i na tej podstawie wykazać, że musi być ograniczony - nieważne, co to właściwie znaczy.
Jest to ciekawy pogląd, gdyż duża większość matematyków wymaga, by matematyka mogła być zapisana formalnie - bo inaczej "się nie liczy". Jednak... w praktyce nigdy się tego nie robi .
Platonicy wierzą, że wszelkie abstrakcyjne twory matematyczne (nie tylko liczby) istnieją naprawdę - niezależnie od człowieka. Zadaniem ludzi jest ich odkrywanie i opisywanie, zgłębianie i odnajdywanie symetrii, wewnętrznego piękna. Owe piękno jest naturalnie wpisane w budowę wszechświata i (wybrani ) podziwiają je na tej samej zasadzie, jak podziwiamy zorze polarne.
Konstruktywiści wierzą, że matematyka nie istnieje poza człowiekiem i człowiek ją wymyślił na własne potrzeby - do modelowego opisu rzeczywistości. Piękno matematyki wynika, w ich mniemaniu, z kunsztu rzemieślnika matematyki i fakt, że jej duża większość jest dziś tak piękna (dla wybranych ) jest efektem zbiorowej pracy wielu umysłów na przestrzeni tysięcy lat (do dziś przetrwały jedynie te "piękne" teorie).
Podam przykładowe argumenty za i przeciw każdemu poglądowi:
* Konstruktywizm, ale nie platonizm:
Wszystko, co proponuje matematyka, nie istnieje w naturze - w rzeczywistości. Nie ma kwadratów, linii prostych czy w ogóle dwuwymiarowych figur. Nie ma idealnych kątów prostych czy dokładnych pomiarów wartości (takich jak np. długość), nie ma nieskończoności na tej planecie. Wreszcie - nie ma liczb! Owszem, istnieje pięć owiec czy dwa kamienie, ale nikt nigdy nigdzie nie wskazał czystego pięć czy dwa w oderwaniu od czegokolwiek innego! Wszystko na świecie jest niedoskonałe i matematyka jest tylko wyidealizowanym (a więc uproszczonym) modelem tego świata.
* Platonizm, ale nie konstruktywizm:
Argument będzie czysto teologiczny i w tym właśnie miejscu chciałbym zaznaczyć, że odpowiedzi oparte na wierze są jak najbardziej mile widziane - wszak to forum protestanckie . Jestem też ciekawy, czy podobnie widzicie inne dziedziny nauki - zwłaszcza te ścisłe i doświadczalne - fizykę, chemię i biologię.
Ale do rzeczy: w zasadzie wszystko pochodzi od Boga. Człowiek nie mógł wymyślić czegoś, na co Bóg by nie wpadł. W tym sensie i matematykę mamy od Boga i jesteśmy (tzn. niektórzy wybrani są ) na nią wrażliwi tak samo, jak wrażliwi bywamy na obrazy czy muzykę, co pokazuje nam "artystyczną" stronę Boga - Stwórcy. Myśleć, że człowiek jest taki mądry, że skonstruował tak użyteczne narzędzie, jakim jest matematyka, jest wysoce... pyszne . Poza tym, zgodność wyników matematyki z rzeczywistością nie może być przypadkiem.
Oczywiście argument "teologiczny" nie musi przekreślać całej dyskusji - ja sam od niedawna co raz bardziej lubię pogląd konstruktywistów. A może wszytko to da się jakoś połączyć...?
Zapraszam do dyskusji!
--------------------------------------------------------
[1]: W zasadzie wyróżnia się jeszcze formalistów - tych filozofów matematyki, którzy traktują ją jako zestaw symboli, alfabetów i zdań wraz z zestawem "dozwolonych" zasad posługiwania się nimi w celu takiego nimi operowania, żeby... otrzymać jeszcze więcej zdań. Takie zdania nazywa się prawdziwymi, ale nie wnika się w ich znaczenie - są one dla formalistów nieważne. Ważne, że można zapisać definicję ciągu zbieżnego i na tej podstawie wykazać, że musi być ograniczony - nieważne, co to właściwie znaczy.
Jest to ciekawy pogląd, gdyż duża większość matematyków wymaga, by matematyka mogła być zapisana formalnie - bo inaczej "się nie liczy". Jednak... w praktyce nigdy się tego nie robi .